SoloCodigo

Me temo que no se puede, la constante existente es utilizada por los atributos AlignmentX y AligmentY, que como ya habras averiguado, se ocupan de la posicion del control, no de su contenido.

De forma directa, solo el JTextField soporta alineacion horizontal. Si deseas un texto mas complejo y hacer uso de la alineacion, tendras que recurrir al JTextPane y utilizar atributos/estilos.

si quieres centrar el texto aunque no sea JTextArea también te puede servir jTextField.

jTextField.setHorizontalAlignment(JTextField.CENTER);