Que yo sepa, con javascript no es posible acceder a los ficheros ni del cliente ni del servidor (excepto a las cookies), así que no creo que se pueda saber tampoco el tamaño de un fichero cualquiera.
Si es un archivo de cookies, no sé si tiene alguna función por ahí, pero se me ocurre una solución chapucera:
Como los cookies son texto plano y se pueden pasar a un String, podríamos calcular su longitud, con la función lenght y multiplicar por el espacio que ocupa un caracter en el disco (8 bytes normalmente, ¿no?).
No lo he probado nunca, es sólo una idea.
