Bueno, en mi humilde opinión has empezado por lo último que se debe hacer en una aplicación: la interfaz. Pero bueno, ya verás los problemas que surjen. Mejor la experiencia en persona
Respondiendo a tu duda, es muy sencillo. Puedes hacer:
string tipo_mascota;
[...]
case 1: cout << "nUsted a elegido un Gato";
tipo_mascota = "Gato";
break;
// etc...
que es lo más sencillo, aunque personalmente haría:
enum tMascotas
{
GATO = 0,
PERRO = 1,
HAMSTER = 2,
CONEJO = 3,
TORTUGA = 4,
PEZ = 5
};
tMascota tipo_mascota;
[...]
case 1: cout << "nUsted a elegido un Gato";
tipo_mascota = GATO;
break;
// etc...
y así evito manejar cadenas de caracteres que es más pesado. Pero como tú te apañes mejor.