hola al cerrar el navegador no cierras la sesion. La session sigue activa en el server por el tiempo que este configurado 20 min por ejemplo.
Lo que sucede al cerrar y abrir es que vez una nueva session o como algunos navegadores con multi tabs regresas a la sesion anterior y puedes seguir navegando en tu siitio.
Pero he visto sitios web que cuando vas a cerrar te pregunta para cerrar session y lo hacen con un evento javascript llamado beforeunload, no estoy seguro que sea un estandar o que funcione en todos los navegadores.
seuerte.
