Pues en tus clases encontre cuando llamas al teclado la variable cuenta esta declarada como long por que no la cambias como String en la clase CuentaAcciones, la razon porqur no entra es por que marca una exception ya que el tipo de dato long no soporta un numero tan grande de cuenta...
 Te posteo las clases corregidas
Cuenta class
public class Cuenta {
  public static String name;
    public static String convert;
    public static String account;
    /**
     * @param args the command line arguments
     */
    public static void main(String[] args) {
        // TODO code application logic here
//        
        
       
      CuentaAcciones datos = new CuentaAcciones(name, account,convert);  
      datos.introducirNombre(name);
      datos.introducirCuenta(account);
    }
import javax.swing.JOptionPane.*;
import java.awt.Toolkit;
import java.util.InputMismatchException;
import java.util.Scanner;
public class CuentaAcciones {  // CLASE PRINCIPAL
    // ATRIBUTOS DE LA CLASE
    private String cuenta;
    private String convierteNumeroCadena;
    private String nombre;
    // CONSTRUCTOR DE DATOS BANCARIOS
    public CuentaAcciones(String nombre, String cuenta, String convierteNumeroCadena){
        this.nombre = nombre;
        this.cuenta = cuenta;
        this.convierteNumeroCadena = convierteNumeroCadena;
    }
  
// METODOS    
void introducirNombre(String nombre){
    Scanner teclado = new Scanner(System.in); // CAPTURA DEL TECLADO    
// DECLARACION DE VARIABLE TIPO STRING
boolean esCadena = false; // OBLIGA A ENTRAR AL BUCLE WHILE
while (esCadena==false){ // BUCLE WHILE
 // IMPRIME NOTAS ACLARATORIAS PARA EL USUARIO  
 System.out.println("    INSTRUCCIONES DE USO"       );
 System.out.println("-------------------------------");
 System.out.println("_El nombre va sin acentos y sin ");
 System.out.println(" sin excederse de 15 caracteres ");
 System.out.println("-------------------------------\n");
 
 // IMPRIME DATOS BANCARIOS
 System.out.println("=======================" );  
 System.out.println("*** DATOS BANCARIOS ***" );
 System.out.println("=======================" );
 
 // NOMBRE DEL USUARIO
 System.out.print("Introduzca su nombre: ");
 nombre=teclado.next();
 // (MATCHES)INCLUYE LETRAS MAYUSCULAS Y MINUSCULAS Y ESPACIOS EN BLANCO
 // Y LA LONGITUD DE CADENA NO PUEDE SER SUPERIOR A 26 CARACTERES
if (nombre.matches("[[a-z]A-Z]*") && (nombre.length() <= 15)){
  System.out.println("Hola "+nombre);
  esCadena = true; // SALE DEL BUCLE
}
      
else{
    System.err.println("¡Error al introducir el nombre!"); // SALIDA POR CONSOLA
    Toolkit.getDefaultToolkit().beep();  // ESTO GENERA UN BEEP
  esCadena = false; // SE MANTIENE EN EL BUCLE
}
}
    
}
void introducirCuenta(String cuenta){
 boolean esNumero = false;  
while (esNumero==false){
    
try{
    Scanner tecladoCuenta= new Scanner(System.in);
    System.out.println("[ENTIDAD ] [OFICINA] [DIGITOS DE CONTROL] [Nº CUENTA]");
    System.out.println("[4 DIGIT ] [4 DIGIT] [     2 DIGIT      ] [10 DIGIT ]");
    System.out.print("Introduzca su numero de cuenta bancaria: ");
    cuenta=tecladoCuenta.next();
    
        this.convierteNumeroCadena = String.valueOf(cuenta);
        System.out.println(convierteNumeroCadena.length());
        long cadena = convierteNumeroCadena.length();
        
    if (convierteNumeroCadena.length() == 20){ // NO SE PQ NO SE CUMPLE ESTO  
      esNumero = true;
      System.out.println("Su numero de cuenta es: "+this.convierteNumeroCadena);
    }
    else{
      System.err.println("¡Error al introducir el numero de cuneta!"); // SALIDA POR CONSOLA
      Toolkit.getDefaultToolkit().beep();  // ESTO GENERA UN BEEP
      esNumero = false;
    }
}
catch (InputMismatchException e)
{
    System.err.println("¡Error al introducir el numero de cuneta!"); // SALIDA POR CONSOLA
    Toolkit.getDefaultToolkit().beep();  // ESTO GENERA UN BEEP
    esNumero = false;
}
}}}
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