Hola,
Por norma general lo que quieres hacer se hace usando ajax (lo que implica un poco de javascript en el cliente y otro poco de c# en el servidor).
Eso sería lo ideal.
Si no usas ajax, por cada caracter introducido en el textbox tendrás que actualizar toda la página y obteniendo asi los registros que coinciden con el contenido de tu text box (pero eso sería extremedamente incómodo para el usuario, vamos que no sería nada serio).
Para trabajar con ajax y .net busca información sobra ATLAS.
Saludos