
He detectado estos errores en la escritura de tu codigo:
1.Cero que el primer error, y gravisisimo es que no declaras algunas variables para usarlas, como es el caso de :
-
cin >> n; 
no declaraste que ivas a usar la variable entera 
n en la funcion main
-
int factorial (x) //definicion de la funcion 
{ 
tienes que declararlo asi:
int factorial (
int x) //definicion de la funcion 
{ 
-Luego utilizas :
{ 
factorial=1; 
for (int counter=x; counter>=1; counter--) 
nuevamente no has declarado  la variable factorial(diferente de la funcion factorial)
ni tampoco la variable counter, segun el tipo de dato que necesites.
-Al final no declaras las variables serie, contador, y factorial.
-al final en:
serie=1+1/factorial; 
no le pasaste el parametro a factorial , asi que te quedaria:
serie=1+1/factorial(n); 
Creo que no tinese algo claro, y es que aunque en las funciones utlices variables del mismo nombre que en otras funciones o del mismo nombre que en el main, es necesario que las declares nuevamente ya que cada funcion posee un espacio de memoria independiente* y el compilador necesita saber para que tipo de dato debe reservar memoria... por eso mientras uno aprende, es recomendable no utilizar los mismos nombres de variables entre funciones.
*(esto es cierto con exepcion de los hilos , pero eso ya es un cuento que por ahora sera mejor que no lo toques)
Ahora bien tu programa con estos errores corregidos quedaria como esta a continuacion, aunque corregir esos errores de gramática no garantiza que tu programa haga lo que tu quieres: 
-   
- //calculo del numero "e" mediante el desarrollo en serie  
-   
- #include <iostream.h>  
-   
- double serie ([b]int[/b]); //prototipo de funcion  
- int factorial (int); //prototipo de funcion  
-   
- [b]int[/b] main()  
- {  
-   [b]int n=0;[/b] 
-   cout << "teclee un numero entero positivo para calcular la serie: "<<endl;  
-   cin >> n;  
-   cout << "el valor de la serie es de" << serie [b](n)[/b] << endl; 
-   return 0;  
- }  
-   
- int factorial ([b]int[/b] x) //definicion de la funcion  
- {  
-   [b]int factorial=1; 
-   int counter; [/b] 
-   for (int counter=x; counter>=1; counter--)  
-     factorial*=counter;  
-   return factorial;  
- }  
-   
- double serie (int n) //definicion de la funcion  
- {  
-   [b]double serie; 
-   int contador;[/b] 
-   serie=1+1/factorial[b](n)[/b];  
-   for(contador=0; contador<=n; contador++)  
-      serie+ =contador;  
-   return serie;  
- }  
-   
-   
Me he tomado el atrevimiento de reescribir tu programa para que haga lo que necesitas, si quieres que te de una explicacion màs detallada de como funciona , o de que hece cada cosa, con gusto lo hare, solo escribeme al foro.
chao suerte.  
 
 -   
- //calculo del numero "e" mediante el desarrollo en serie  
-   
- #include <stdio.h> 
-   
- double serie (int); //prototipo de funcion 
- double factorial (double); //prototipo de funcion 
-   
-   
- int main() 
-   
- { 
-   int n=0; 
-   printf("nteclee un numero entero positivo para calcular la serie: "); 
-   scanf("%d",&n); 
-   printf("nel valor de la serie es de: %2.30G",serie(n)); 
-   getch(); 
-   return 0; 
- }  
-   
- double factorial (double x) //definicion de la funcion 
-   
- {  
-   double fact=1; 
-   int count; 
-   
-   for (count=x; count>1; count--) 
-     fact*=count; 
-   return fact; 
- }  
-   
-   
- double serie (int n) //definicion de la funcion 
-   
- {  
-   double ser,e=1; 
-   int cont; 
-    
-   for(cont=1; cont<=n; cont++) 
-   { 
-     ser=1/factorial(cont); 
-     e+=ser; 
-   } 
-   return e; 
- }  
-   
-